Pillow-Problems: Problem #21 (Math Lair)

Problem:

21.

Sum (1) to n terms, (2) to 100 terms, the series

1 · 3 · 5; + 2 · 4 · 6; + &c.

[7/4/89

21.

(1)
n · n + 1 · n + 4 · n + 5
4
; (2) 27,573,000.

21.

(1) The nth term is n · n + 2 · n + 4;

∴the (n + 1)th term is n + 1 · n + 3 · n + 5;

= (n + 1) ·(n + 2 + 1) · (n + 5);

= n + 1 · n + 2 · n + 5 · n + 1 · n + 5

= n + 1 · n + 2 · (n + 3 + 2) + n + 1 · (n + 2 + 3);

= n + 1 · n + 2 · n + 3 + 2 · n + 1 · n + 2 + n + 1 · n + 2 + 3 · n + 1;

= n + 1 · n + 2 · n + 3 + 3 · n + 1 · n + 2 + 3 · n + 1.

∴S =

n · n + 1 · n + 2 · n + 3

+ n · n + 1 · n + 2 +

(3)/

(2)

· n · n + 1 + C;

and C = 0.

∴ S = n · n + 1 · (

n² + 5n + 6

+ n + 2 +

(3)/

(2)

);

= n · n + 1 ·

n² + 9n + 20

n · n + 1 · n + 4 · n + 5

Q.E.F.

(2) S, to 100 terms,

100 · 101 · 104 · 105

= 100 · 101 · 26 · 105;

now 101 · 105 = 10,605;

∴ 101 · 105 · 13 = 130,000 + 7800 + 65 = 137,865;

and twice this = 27400 + 1730 = 275,730;

∴ S = 27,573,000.

Q.E.F.